Предельный переход под знаком несобственного интеграла

Предельный переход под знаком интеграла.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

из [1] о предельном переходе под знаком интеграла Колмогорова к интегралам соединением несобственных интервалов и полуинтервалов. Под. Основные теоремы. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема 1 (о непрерывности интеграла с параметром). Если функция f(x,y). Предельный переход и дифференцирование под знаком интеграла в точке под знаком собственных и несобственных интегралов второго рода.

Оценим частные интегралы от функции 2 f: По признаку Дирихле, интеграл сходится равномерно. Функция f непрерывна по, интеграл f, d сходится равномерно на множестве Y ; 2.

  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
  • Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 1 из 6)
  • Интегралы, зависящие от параметра

Семейство функций g равномерно ограничено, существует непрерывная по частная производная g, и знакопостоянная при Y и д. Введем константу K g, обозначение для F, см.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Снова интегрируем по частям отрезок интеграла: Тогда для правой части равенства можно записать: Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной.

Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром

Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d. Интеграл от функции f сходится. Из неотрицательности переменных, следует, что g, семейство функций ограничено.

По признаку Абеля, интеграл I сходится равномерно. Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра, и функциональных рядов. Знание этой связи значительно упрощает доказательство дальнейших утверждений, относящихся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, сводя их к известным фактам теории функциональных рядов. По определению Гейне, достаточно изучать случаи всех последовательностей Введем обозначение: Если же при всех и д.

Свойства несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра. Пусть f, g.

Научный форум dxdy

Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;,d ] ; при любом семейство функций f, g при равномерно относительно на каждом отрезке [,] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ].

Тогда интеграл g d сходится и можно переходить к пределу под знаком интеграла. Пусть функция f, определена и непрерывна в полуполосе [, ;, d ] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл I непрерывен. По теореме 2 для определенного интеграла, функции n непрерывны.

По теореме 2 для функционального ряда, его сумма I непрерывна. При выполнении условий теоремы 2 можно менять порядок повторного интегрирования. Доказательство утверждения основано на теоремах об интегрировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. - PDF

Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;, d ] ; частная производная f, непрерывна; интеграл f, d сходится; интеграл f, d сходится равномерно.

Тогда интегрирование под знаком интеграла. Доказательство основано на теоремах о дифференцировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда.

Приведенные теоремы используются, в частности, при вычислении определенных и несобственных интегралов, зависящих и не зависящих от параметра. Поскольку найти непосредственно интеграл довольно сложно, попробуем найти его производную. Для этого поместим произвольный фиксированный параметр в отрезок [,d ], d. Проверим выполнение условий теоремы 4. В заключение приведем несколько утверждений о поведении несобственного интеграла 2-го рода, зависящего от параметра.

Интегралы зависящие от параметра 1. Пусть при каждом постоянном значении у из Х функция f x,y будет интегрируема в промежутке [a,b] в собственном или не собственном смысле. По отношению к функции I y возникает ряд вопросов - о существовании и выражении ее предела при определенном предельном переходе, в частности, об ее непрерывности по у, об ее дифференцируемости и выражении для нее производной, наконец об ее интеграле.

Х, где Х и Х означают множества значений, принимаемых порознь х и у, причем Х имеет своей точкой сгущения конечное число. Пусть имеет место равномерная сходимость. Заменив в определении е на и соответственно выбрав д, возьмем теперь два значения у и у? Тогда будем иметь, каково бы ни было х, f x,y? Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции 2.

Предельный переход под знаком интеграла : Математика (общие вопросы)

Переходя затем к пределу в неравенстве 4 при у? Этим установлено равномерное стремление функции f x,y к предельной функции ц х. Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х.

предельный переход под знаком несобственного интеграла